一．知识网络梳理
教育部于1999、2000年接连印发的《关于初中毕业、升学考试改革的指导意见》中明确要求，数学试题应设计一定的“开放性问题”。此后，开放型试题成为各地中考的必考试题。所谓的开放型试题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题，常见的类型有条件观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，对激发学习兴趣、培养想像、扩散、概括、隐喻等水平思维能力的探索创新能力十分有利，是今后中考的必考的题型。
开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。观察、实验、猜想、论证是科学思维方法，是新课标思维能力新添的内容，学习中应重视并应用。
开放题是中考题多样化和时代发展要求的产物，单一的题型和测试目标限制了考生应用知识解决实际问题的能力，不利于激发学生的创造性。开放性试题能为考生提供更大的考虑问题的空间，在解题途径方面也是多样的，这样的试题是十分有利于考生发挥水平的，也有利于考生创新意识的培养。
开放题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结构的多样性，它是开放题的目标；思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径；知识的综合性，它是开放题的深化；情景的模拟性，它是开放题的实践；内涵的发展性，它是开放题的认识。过程开放或结论开放的问题能形成考生积极探究问题情景，鼓励学生多角度、多侧面、多层次地思考问题，有助于充分调动学生的潜在能力。
题型1条件开放与探索
条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出。
题型2结论开放与探索
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。
题型3解题方法的开放与探索
策略开放性问题,一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题,这类问题要求解题者不墨守成规,善于标新立异,积极发散思维,优化解题方案和过程。
二、知识运用举例
（一）条件开放
例1.(04苏州) 已知（x1,y1），(x2,y2)为反比例函数
解: 答案不唯一，只要符合k＜0即可，如k= —1，或k= —2……。
例2.(05深圳市) 如图，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是__。
D B C
例2图
解:答案不惟一.如:AB=DC;∠ACB=∠DBC;∠A=∠D=Rt∠….
例3（07南京市）已知点
答：
例4（05梅州）如图，四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC≌ΔBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；
（2）证明你的结论。
解：（1）AE=CF（OE=OF；DE⊥AC；BF⊥AC；DE∥BF等等）
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∠DCE=∠BAF
又∵AE=CF，∴AC－AE=AC－CF，∴AF=CE，∴ΔDEC≌ΔBAF
说明:考查了矩形的性质及三角形全等的判定。
例5（06泰州市）已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=x．
（1）如图（1）当x取何值时，⊙O与AM相切；
（2）如图（2）当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC=90°．
【解答】（1）在图（1）中，当⊙O与AM相切时，设切点为F．
连结OF，则OF⊥AM，∵在Rt△AOF中，∠MAN=30°，
∴OF=
∴当x=2时，⊙O与AM相切．
（2）在图（2）中，过点O作OH⊥BC于H．
当∠BOC=90°时，△BOC是等腰直角三角形，
∵OH⊥BC，∴BH=CH，∴OH=
在Rt△AHO中，∠A=30°，
∴OH=
∴当x=2
【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解．
（二）、结论开放
解：∠1=∠2或BD=DC或△ABD≌△ACD等。
例2（04徐州）如图，◎Ol与◎O2相交于点A、B，顺次连结
(1)根据我们学习矩形、菱形、正方形性质时所获得的经验，探求图中的四边形有哪
些性质?(用文字语言写出4条性质)
性质1．________________________________；
性质2．________________________________；
性质3．________________________________；
性质4．________________________________．
(2)设◎O1的半径为尺，◎O2的半径为r(R>r)，
四边形
形的任一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线同一旁的四边形)。则d的取
值范围是____________________________
解：（1）是开放性问题，答案有许多，如：
性质1：相交两圆连心线垂直公共弦；
性质2：相交两圆连心线平分公共弦；
性质3：线段
性质4：线段02B=线段
性质5：∠
等等。
（2）实质是相交两圆的d与R+r的关系，应为R—r＜d＜R+r.
例3（06莆田市）已知矩形ABCD和点P，当点P在边BC上任一位置（如图①所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当P点分别在图②、图③中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图②证明你的结论．
答：对图②的探究结论为__________．
对图③的探究结论为_________．
证明：如图2．
结论均是：PA2+PC2=PB2+PD2．
证明：如图②过点P作MN⊥AD交AD于点M，交BC于点N．
∵AD∥BC，MN⊥AD，∴MN⊥BC
在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2
在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2
在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2
在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC．
∴四边形MNCD是矩形．
∴MD=NC．
同理 AM=BN．
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2．
即PA2+PC2=PB2+PD2．
【评析】本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度．正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键．
（三）、综合开放
A D H